在数学学习中，理解函数的定义域是至关重要的一步。定义域指的是一组允许输入值的集合，这些值使得函数有意义且能够被计算出结果。本文将针对两个具体函数，分别探讨其定义域的求解过程。

（1）函数 $ f(x) = \sqrt{x - 3} $

首先，我们需要明确的是，对于平方根函数 $\sqrt{g(x)}$ 来说，其内部表达式 $g(x)$ 必须是非负数。因此，在此问题中，要求 $x - 3 \geq 0$。通过简单的代数运算可以得到：

$$

x \geq 3

$$

这意味着函数 $f(x) = \sqrt{x - 3}$ 的定义域为所有大于或等于 3 的实数。用区间表示即为：

$$

[3, +\infty)

$$

（2）函数 $ g(x) = \frac{1}{x^2 - 4} $

接下来考虑分母不为零的情况。对于分式函数而言，分母不能为零。因此，我们需要解决方程 $x^2 - 4 = 0$。利用因式分解的方法可得：

$$

x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)

$$

由此可知，当 $x = 2$ 或 $x = -2$ 时，分母为零，函数无意义。因此，函数 $g(x) = \frac{1}{x^2 - 4}$ 的定义域为所有实数，除了 $x = 2$ 和 $x = -2$。用区间表示为：

$$

(-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, +\infty)

$$

总结

通过上述分析可以看出，求解函数的定义域需要结合具体的函数形式进行讨论。无论是涉及平方根还是分式的情况，都需要根据函数本身的性质来确定哪些输入值会导致函数失去意义。希望以上内容能帮助大家更好地理解和掌握这一知识点！