【三角函数变换公式汇总】在数学学习中，三角函数是重要的基础知识之一，广泛应用于几何、物理、工程等多个领域。掌握常见的三角函数变换公式，有助于提高解题效率和理解能力。以下是对常见三角函数变换公式的总结，便于查阅与记忆。
一、基本关系式
| 公式 | 说明 |
| $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ | 基本恒等式 |
| $1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$ | 与正切、余割相关 |
| $1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta$ | 与余切、正割相关 |
二、诱导公式（角度与单位圆）
| 角度 | $\sin$ | $\cos$ | $\tan$ | 说明 |
| $-\theta$ | $-\sin\theta$ | $\cos\theta$ | $-\tan\theta$ | 负角公式 |
| $\pi - \theta$ | $\sin\theta$ | $-\cos\theta$ | $-\tan\theta$ | 补角公式 |
| $\pi + \theta$ | $-\sin\theta$ | $-\cos\theta$ | $\tan\theta$ | 反角公式 |
| $2\pi - \theta$ | $-\sin\theta$ | $\cos\theta$ | $-\tan\theta$ | 周期公式 |
三、和差角公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta$ | 正弦的和差公式 |
| $\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta$ | 余弦的和差公式 |
| $\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta}$ | 正切的和差公式 |
四、倍角公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$ | 正弦的倍角公式 |
| $\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta$ | 余弦的倍角公式 |
| $\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$ | 正切的倍角公式 |
五、半角公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}}$ | 正弦的半角公式 |
| $\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}$ | 余弦的半角公式 |
| $\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{1 + \cos\theta}}$ | 正切的半角公式 |
六、积化和差公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)]$ | 正弦乘余弦 |
| $\cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta)]$ | 余弦乘余弦 |
| $\sin\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)]$ | 正弦乘正弦 |
七、和差化积公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$ | 正弦和化积 |
| $\sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$ | 正弦差化积 |
| $\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$ | 余弦和化积 |
| $\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$ | 余弦差化积 |
八、其他常用公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin^3\theta = \frac{3\sin\theta - \sin(3\theta)}{4}$ | 三次方公式 |
| $\cos^3\theta = \frac{3\cos\theta + \cos(3\theta)}{4}$ | 三次方公式 |
| $\sin\theta = \frac{2\tan\left(\frac{\theta}{2}\right)}{1 + \tan^2\left(\frac{\theta}{2}\right)}$ | 万能代换公式 |
| $\cos\theta = \frac{1 - \tan^2\left(\frac{\theta}{2}\right)}{1 + \tan^2\left(\frac{\theta}{2}\right)}$ | 万能代换公式 |
通过以上表格形式的整理，可以更清晰地掌握各种三角函数的变换规律。在实际应用中，灵活运用这些公式，能够帮助解决复杂的三角问题，提升解题效率。建议结合具体题目进行练习，加深理解和记忆。
