【二次函数最值】在数学学习中，二次函数是最常见且重要的函数之一。它的一般形式为 $ y = ax^2 + bx + c $（其中 $ a \neq 0 $），其图像是一个抛物线。根据系数 $ a $ 的正负，抛物线的开口方向不同，从而决定了函数的最大值或最小值的存在。
本文将对二次函数的最值进行总结，并通过表格形式清晰展示关键知识点和解题方法。
一、二次函数的基本性质
| 项目 | 内容 |
| 一般形式 | $ y = ax^2 + bx + c $ |
| 开口方向 | 当 $ a > 0 $ 时，开口向上；当 $ a < 0 $ 时，开口向下 |
| 对称轴 | $ x = -\frac{b}{2a} $ |
| 顶点坐标 | $ \left( -\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right) \right) $ |
| 最值 | 若 $ a > 0 $，则有最小值；若 $ a < 0 $，则有最大值 |
二、求二次函数最值的方法
方法一：利用顶点公式
对于函数 $ y = ax^2 + bx + c $，其最值出现在对称轴处，即：
$$
x = -\frac{b}{2a}
$$
代入原式可得最值：
$$
y_{\text{最值}} = a\left(-\frac{b}{2a}\right)^2 + b\left(-\frac{b}{2a}\right) + c
$$
简化后可得：
$$
y_{\text{最值}} = \frac{4ac - b^2}{4a}
$$
方法二：配方法
将二次函数配方为顶点式：
$$
y = a(x - h)^2 + k
$$
其中 $ h = -\frac{b}{2a} $，$ k = \frac{4ac - b^2}{4a} $
此时，若 $ a > 0 $，则 $ k $ 是最小值；若 $ a < 0 $，则 $ k $ 是最大值。
三、实际应用中的最值问题
在实际问题中，如面积、利润、距离等，常常需要求出某个二次函数的最值。这类问题通常需要先建立函数模型，再根据实际情况确定定义域，进而求出最值。
| 问题类型 | 解题步骤 |
| 面积最大 | 设变量，列出面积表达式，求最值 |
| 利润最大 | 建立成本与收入函数，计算利润函数，求最值 |
| 距离最短 | 构造距离表达式，转化为二次函数求最值 |
四、典型例题解析
例1： 求函数 $ y = -x^2 + 4x - 3 $ 的最大值。
解：
由于 $ a = -1 < 0 $，函数有最大值。
对称轴为 $ x = -\frac{4}{2 \times (-1)} = 2 $
代入得：
$$
y = -(2)^2 + 4 \times 2 - 3 = -4 + 8 - 3 = 1
$$
所以最大值为 1。
五、总结
二次函数的最值是其图像的一个重要特征，掌握其求法有助于解决许多实际问题。通过理解顶点公式、配方法以及结合实际背景分析，可以更灵活地运用二次函数的知识解决问题。
| 关键点 | 内容 |
| 最值存在条件 | $ a \neq 0 $ |
| 最值位置 | 在对称轴处 |
| 最值类型 | 根据 $ a $ 正负判断 |
| 实际应用 | 面积、利润、距离等问题 |
通过以上内容，希望你能够更好地理解和应用二次函数的最值问题。
