【关于普通年金终值计算公式是怎么推导出来的?】在金融和财务领域，普通年金（Ordinary Annuity）是一种重要的现金流形式，指的是在一定时期内，每期期末支付或收到等额的款项。普通年金的终值（Future Value of an Ordinary Annuity）是指这些定期支付的金额在最后一期结束时所累积的总价值。
为了更清晰地理解普通年金终值的计算方式，我们从基本原理出发，逐步推导其计算公式，并通过表格形式进行总结。
一、普通年金终值的基本概念
普通年金终值（FV）是将一系列等额、定期支付的现金流量，按一定的利率折算到未来某一时间点的总价值。常见的应用场景包括定期存款、养老金计划、贷款还款等。
二、普通年金终值的推导过程
假设每期支付金额为 $ A $，利率为 $ i $，共支付 $ n $ 期。由于是普通年金，支付发生在每期期末。
1. 第一期支付的终值：
$ A \times (1 + i)^{n-1} $
2. 第二期支付的终值：
$ A \times (1 + i)^{n-2} $
3. 第三期支付的终值：
$ A \times (1 + i)^{n-3} $
...
n. 第n期支付的终值：
$ A \times (1 + i)^0 = A $
将所有这些终值相加，得到普通年金终值：
$$
FV = A \times \left[(1 + i)^{n-1} + (1 + i)^{n-2} + \cdots + (1 + i)^0\right
$$
这是一个等比数列求和问题，首项为 $ (1 + i)^0 = 1 $，公比为 $ (1 + i) $，项数为 $ n $。
根据等比数列求和公式：
$$
S_n = \frac{(1 + i)^n - 1}{i}
$$
因此，普通年金终值公式为：
$$
FV = A \times \frac{(1 + i)^n - 1}{i}
$$
三、普通年金终值公式总结表
| 项目 | 内容 |
| 公式 | $ FV = A \times \frac{(1 + i)^n - 1}{i} $ |
| 符号说明 | $ A $：每期支付金额；$ i $：每期利率；$ n $：支付期数 |
| 推导依据 | 等比数列求和公式 |
| 应用场景 | 定期储蓄、养老金、投资回报等 |
| 特点 | 每期支付发生在期末，利息逐期复利计算 |
四、举例说明
假设某人每年末存入银行5000元，年利率为5%，连续存5年，问第五年末的终值是多少？
代入公式：
$$
FV = 5000 \times \frac{(1 + 0.05)^5 - 1}{0.05} = 5000 \times \frac{1.27628 - 1}{0.05} = 5000 \times 5.5256 = 27,628 \text{元}
$$
五、总结
普通年金终值的计算公式来源于对每一期支付金额按复利方式进行累积的数学推导。通过等比数列的求和方法，最终得出简洁的公式 $ FV = A \times \frac{(1 + i)^n - 1}{i} $，便于实际应用与计算。
了解这一推导过程，有助于更好地理解年金类金融工具的运作机制，为个人理财和企业投资决策提供理论支持。
